Estudiar el movimiento de un péndulo compuesto como ejemplo
del movimiento del movimiento armónico simple y determinar el radio de giro de
un cuerpo.
Fundamento teórico:
Un solido rígido cualquiera, suspendido verticalmente de un
eje horizontal alrededor del cual puede oscilar por la acción de la gravedad,
constituye un péndulo compuesto.
Si se desplaza de su posición de equilibrio un pequeño Angulo
y se le suelta, el péndulo oscila con movimiento armónico simple de periodo:
Donde M es la masa del cuerpo, I el momento de inercia
respeto al eje de oscilación y d es la distancia desde el eje de oscilación al
centro de gravedad.
Haciendo uso de teorema de steiner podemos expresar el momento
de inercia anterior como:
Donde 
es el momento de inercia respecto de un eje,
paralelo al anterior, que pasa por su centro de gravedad. Este momento de
inercia siempre es proporcional a la masa a través de la expresión:
es el momento de inercia respecto de un eje,
paralelo al anterior, que pasa por su centro de gravedad. Este momento de
inercia siempre es proporcional a la masa a través de la expresión:
Donde a k se le denomina radio de giro.
Sustituyendo
l expresión (3) en (2), tendremos:
Sustituyendo
esta ecuación en la expresión (1) del periodo obtenemos:
Escribiendo de forma conveniente esta ecuación llegamos a:
Luego si representamos en un sistema de ejes cartesianos los
valores 
en ordenadas y los de 
en abscisas, obtendremos una recta cuy
pendiente nos permite hallar el valor de g y la ordenada en el origen el valor k del radio de giro del cuerpo.
en ordenadas y los de en abscisas, obtendremos una recta cuy
pendiente nos permite hallar el valor de g y la ordenada en el origen el valor k del radio de giro del cuerpo.
Material:
2 varillas de 1m. con sus bases soporte, 4 nueces dobles, 1
nuez soporte para péndulo, 2 ejes con perfil prismático, 1 varilla de 75 cm,
regla graduada y cronometro.
Método operativo.
A)
primero que nada colocaremos la nuez para el soporte del péndulo sobre uno de
los extremos de la varilla de 75 cm.
Debemos considerar a todos los efectos de centro de gravedad
situado siempre en el centro geométrico de la varilla.
B)
debemos medir la distancia d desde el centro de gravedad de la varilla a una de
las muescas de la nuez soporte que se usara para suspender la barra sobre el
eje de giro.
c) Debemos
colocar el péndulo sobre los ejes del perfil prismático. En este tipo de
operación se requiere la máxima destreza por parte del alumno con el fin
que la nuez soporte del péndulo descanse
de forma equilibrada sobre los dos ejes prismáticos que están unidos a las
varillas soportes. Para eso primero que nada quizá sea preciso ajustar la
altura y orientación de las nueces que sujetan a los ejes prismáticos sobre las
varillas.
D) debemos
hacer oscilar el péndulo separándolo un ángulo pequeño de la vertical. Luego medir
la duración t de 30 oscilaciones completas.
E)
Calcular el período T de las
oscilaciones, que resultará de dividir el tiempo medido
anteriormente entre el número de oscilaciones consideradas.
F) Debemos
repetir al menos 5 veces más los apartados anteriores, pero acercando en cada
medida la nuez soporte para el péndulo
hacia el centro de gravedad de la varilla 5 cm en cada ocasión.
Resultados y cuestiones
1) Completar la tabla adjunta
d (cm)
|
t(s)
|
T(s)
|
T2(s2)
|
dT2(cm.s2)
|
d2(cm2)
|
2) Representar gráficamente dT2 (ordenada) frente
a d2 (abscisa).
3) Obtener por el método de los mínimos cuadrados el valor
de la pendiente y de la ordenada en
el origen de la recta que mejor se ajusta a los puntos
representados en la gráfica anterior.
4) Trazar sobre el gráfico la recta de regresión obtenida.
5) Determinar el valor del radio de giro k a partir del
valor de la ordenada en el origen obtenida.
6) Buscar, utilizando bibliografía, la expresión teórica del momento de inercia
de una barra
delgada respecto de un eje que pasa por su centro de
gravedad, y deducir de ella la expresión
teórica de su radio de giro.
7) Calcular a partir de la expresión del radio de giro
obtenido en el apartado anterior, el valor
del radio de giro teórico de la barra utilizada.
8) Comparar los resultados obtenidos en las cuestiones 5 y 7
y comentarlos, destacando
aquellos aspectos que creas han contribuido especialmente a
sus diferencias.
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